El crecimiento exponencial transcurre si el índice de crecimiento propio de una función es correspondiente al presente valor de dicha función, por esta razón se llama formmalmente, ley exponencial. , lo cual correspondería a la siguiente ecuación:
tendremos como resultado que:

Donde:
Mt : corresponde valor de la extensión en el instante t > 0;
M0: corresponde al valor del inicio de la variable, ;
r: tasa de crecimiento instantánea
e = 2,7183

Ejemplo:
En 1966 la Comisión Internacional Contra la Captura de Ballenas protegió a la población mundial de ballena azul contra los barcosballeneros. En 1978 se pensaba que la población en el hemisferio sur era de 5000. Ahora sin depredadores y con abastecimiento abundante de alimentos, se espera que la población crezca exponencialmente de acuerdo con la fórmula

, en la que t está dado en años.
a) Calculamos la población en el año 2000.

ballenas

b) Pronostica la población en el año 2007.

ballenas

c) Siguiendo el modelo creado y asumiendo que 0% de natalidad y 1978 como año cero, ¿cuándo se duplicará la cantidad de ballenas azules?

años
En el año 1993 había el doble de ballenas que en el año 1978.

Interés compuesto

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (C_f).

Está dado por la fórmula:

Ejemplo:

Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

Resolución:

Aplicando la fórmula

Reemplazamos con los valores conocidos:
En tasa de interés compuesto

Capital inicial

Tiempo en años (t) = 5

LOGARITMOS

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Se lee “logaritmo de x en base a es igual a y”, pero debe cumplir con la condición general de que a (la base) sea mayor que cero y a la vez distinta de uno:

Podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación, como en este ejemplo:

Significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia.

Propiedades de los logaritmos:

1.-El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

2.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

3 .-El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

4.-El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

5.-Cambio de base:

Unidad 4

FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.