El crecimiento exponencial   transcurre si el índice de crecimiento propio de una función es correspondiente al presente valor de dicha función, por esta razón se llama formmalmente, ley exponencial. , lo cual correspondería a la siguiente ecuación:
tendremos como resultado que:


Donde:
Mt : corresponde valor de la extensión en el instante t > 0;
M0: corresponde al valor del inicio de la variable, ;
r:  tasa de crecimiento instantánea
e = 2,7183

Ejemplo:
En 1966 la Comisión Internacional Contra la Captura de Ballenas protegió a la población mundial de ballena azul contra los barcosballeneros. En 1978 se pensaba que la población en el hemisferio sur era de 5000. Ahora sin depredadores y con abastecimiento abundante de alimentos, se espera que la población crezca exponencialmente de acuerdo con la fórmula , en la que t está dado en años.
a) Calculamos la población en el año 2000.

ballenas

b) Pronostica la población en el año 2007.
ballenas

c) Siguiendo el modelo creado y asumiendo que 0% de natalidad y 1978 como año cero, ¿cuándo se duplicará la cantidad de ballenas azules?
años
En el año 1993 había el doble de ballenas que en el año 1978.

Interés compuesto

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (C_f).

Está dado por la fórmula:

 

Ejemplo:

Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

Resolución:

Aplicando la fórmula
Reemplazamos con los valores conocidos:
En tasa de interés compuesto
Capital inicial
Tiempo en años (t) = 5

LOGARITMOS

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Se lee “logaritmo de x en base a es igual a y”, pero debe cumplir con la condición general de que a (la base) sea mayor que cero y a la vez distinta de uno:

 Podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación, como en este ejemplo:

 

Significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia.

Propiedades de los logaritmos:

1.-El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

2.- El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

3 .-El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

4.-El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

5.-Cambio de base:

Unidad 4

FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

x	y = 2x
-3	1/8
-2	1/4
-1	1/2
0	1
1	2
2	4
3	8

x	y = 2x
-3	8
-2	4
-1	2
0	1
1	1/2
2	1/4
3	1/8

 

Propiedades de la función exponencial

Dominio: .

Recorrido: .

Es continua.

Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.

Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).

Creciente si a >1.

Decreciente si a < 1.

Las curvas y = a^x e y = (1/a)^x son simétricas respecto del eje OY.

 

 

Graficas del las funciones trigonometrica Sen, Cos y Tan

 

La forma de una función sen y cos es: f (x) A Sen ó Cos (Bx+C)+D

A= Amplitud

B= Periodo T= 2π/ B

C = Desplazamiento horizontal Dh= -C/B

Incremento T/4

D = Desplazamiento vertical

 Su dominio para la función seno es (+∞,-∞)

 

Esta  función es periódicamente cada π intersecta al eje x en π, no tiene amplitud por lo que su rango va de  -∞ a + ∞ y su gráfica es:

Dominio: R-{π/2+nπ)                 

Priodo: T= π/b

Incremento: T/2

Funciones trigonometricas en un círculo unitario

Las razones trigonometricas en el circulo unitario en los angulos 0°, 90°, 180°, 270° y 360° reciben el nombre de cuadrantes. Cuando alfa (∝) es igual a 0 el punto 1 tiene las coordenadas (1,0); si ∝ es igual 90° el punto 2 tiene las coordenadas (0,1) si coincide en el eje "Y", cuando ∝es igual 180°el puntoo 3 es igual (-1.0) y para ∝igual a 360°el punto 4 tiene las mismas que el punto I (1,0).

 

 

 Si el ángulo es mayor de 360° para hacer la relacion del ángulo se divide el ángulo entre 360° y se conciderará el residuo.

 

 

  

 

 
SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 

 

 

 

 

EJEMPLO:Obtén el valor aproximado a ∝= 944°
360/944=2  con residuo  de 224°
944---->224
Sen 944°= Sen 224° = -0.69
224-180= 44°
- Sen 44° = -0.69

El ángulo se encuentra el el tercer cudrante, así que se toman los signos para el ultimo ángulo (44°)
Sen= -0.69
Cos= -0.71
Tan= 0.96
Csc= -1.44
Sec= -1.40
Cot= 1.04

Transformación de un ángulo cualquiera en funciones trigonometricas en ángulos agudos

 

 

Considera a θ como el origen del plano cartesiano y un punto cualquiera en el
mismo P (a, b), para calcular la distancia que existe del origen a ese punto, recurres
a la formación de un triángulo rectángulo, trazas una línea vertical del punto P al eje de las “x” (a la abscisa “a”) y la unes con el origen, ya que se formó el triángulo rectángulo, determinas lo siguiente:
 

a : abscisa, cateto adyacente. b: ordenada, cateto opuesto.
r : distancia del origen al punto, hipotenusa.
θ: ángulo formado por la horizontal y el punto P.
Mediante las funciones trigonométricas puedes obtener la medida del ángulo θ.

 

 

 

 

Ejemplo: 

Ubica  en  el  plano  cartesiano  el  punto  Q  (7,  7);  calcula  la  distancia  de  este  punto  al origen y el ángulo que forma con la horizontal. 

Solución:

 Aplica  el  teorema  de  Pitágoras  para  obtener  la distancia del punto Q al origen O: 

 

Una  vez  que  obtuviste  el  valor  de  la  hipotenusa  (r),  para  determinar  la  amplitud  del
ángulo,  puedes  realizarlo  a  través  de  cualquiera  de  las  funciones  trigonométricas  y
mediante la calculadora o de las tablas trigonométricas. 
Entonces, si usas la función tangente: Sustituye los valores correspondientes:
Despeja el ángulo θ:
tan θ= cateto opuesto / cateto adyacente
tan θ= 7/7 = 1
Aplica la función:
θ = tan −1 (1)
θ = 45º


 

UNIDAD 3

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

El objetivo de las funciones es resolver problemas de magnitudes regulares y elemento de desconocidos de un triángulo.Cuando el triangulo es rectangulo podemos obtener las siguientes 6 funciones y aplicar el terorema de Pitagoras.

　

　Ejemplo:

　

　

　

　

　

　

　

Transformación de un ángulo en funciones trigonometricas en águlos agudos

La función trigonométrica de un ángulo agudo es igual a la cofunción de su complemento.
Ejemplo:


Pasos:
1.Determinar todas las funciones trigonométricas del ángulo a.
2.Lo primero fue determinar el valor del cateto BC que, a través del teorema de Pitágoras, resulta de 4 cm.
3.Ahora que ya sabemos la medida de cada lado del triángulo, resolvamos.

sen a = 4/5 = 0,8
cos a = = 0,6
tg a = = 1,33...
cot a = = 0,75
sec a = = 1,66...
cosec a = 1,25