Continuidad en las funciones

En  una función f(x) es continua si es continua en cada punto de su dominio, y es continua en un punto específico x = b si el límite de f(x), conforme x se aproxima a b, es f(b).
(- ∞,o][0+ ∞)
Ejemplo. Analizar  la continuidad de la función h(x) = en el intervalo (–2, 2).

Los posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x = 1 y x = -1.

A continuación se analiza lo que sucede para cada valor:

En x = 1 h(1) = (indeterminado) La función no está definida en este punto.   Como f(x) no está definida en x = 1 pero existe el límite para x  ®  1,  la  función  presenta  una discontinuidad  evitable  en  x = 1.

En x = - 1  h(-1) = no existe     Como no existe el  límite para x ® -1,  la función  presenta  una  discontinuidad infinita en x = -1

Por lo tanto, la función es continua en (-2, -1) È (-1, 1) È (1, 2).

Grafica de una funcion racional

Para realizar la gráfica de una función racional debemos obtener las raíces del numerador y así conocer los puntos importantes de esta.
Pasos:
1.Dar despeje al denominador x-3=0 y queda de la manera  X=3
2.Tabular con números cercanos a 3 tanto positivos como negativos
3.Hacer la gráfica y marcar los puntos obtenidos en la tabulación
4.Obtener la raiz del numerador asi sabras el rango

Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.

UNIDAD 2

FUNCIONES CON RACIONALES Y RADICALES

 Las funciones con números racionales están formadas por la división de dos funciones polinomial es de la forma:

 

En esta ocasión  no corta al eje de las x  y no hay raíces.

El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador.

Una función racional  h(x)  es el cociente de dos funciones  f(x) y  g(x) se representa con  la forma:

Donde   f(x) y  g(x) don funciones polinomiales  y g(x)  es función diferente a 0, es decir, g(x)

Ejemplo:

 Procedimiento:
1. Puedes utilizar la formula general o por factorización
2. Sacar las raíces






Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:

.

Tema 8

ANÁLISIS DEL COMPORTA MIENTO GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN POLINOMIAL

La gráfica de las funciones polinómicas depende del grado de la función. Las funciones polinómicas de ciertos grados tienen ciertas alternativas de gráfica. Queda a este curso de derivadas averiguar algunas de las características de las funciones para poder predecir su comportamiento.
Muchas veces a partir de la gráfica de un polinomio se puede deducir la ecuación de la función. Ésto se puede hacer a partir de las intersecciones con los ejes. (Conste que comenté, que muchas veces, NO SIEMPRE).
Una función polinómica con el más alto número de intersecciones con el eje "x" permisible, es aquella que se puede determinar su gráfica y su ecuación.

INTERVALO CRECIENTE Y DECRECIENTE

Funcion descreciente

Si f es decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Si f es derivable en a:

Función creciente

Si f es creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Si f es derivable en a:

Tema 7

RAÍCES Y GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN DE 4to GRADO

Para obtener la raíces de una función cuadrática se aplica el mismo método que las funciones cubicas solo que en esta se aplica la división 2 veces. Es una ecuación de cualquier grado escrita de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.
Ejemplo:

2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 0

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

P(x) = 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6

Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

Dividimos por Ruffini.

Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6) = 0

Una raíz es x = 1 .

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5x − 6≠ 0

P(− 1) = 2 · (− 1)³ + 3 · (− 1)² − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6) = 0

Otra raíz es x = -1 .

Los otros factores lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado.

Las soluciones son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

Tema 6

Ecuaciones cúbicas, solución por factorización directa

La primera estrategia que se debe aplicar es la de factorizar, tal como se hace con las ecuaciones cuadráticas. Si se logra factorizar la ecuación, la solución inmediata. Sin embargo, la factorización de ecuaciones cúbicas puede ser un proceso muy complicado, así otros métodos alternos son necesariospara facilitar la solución de estas ecuaciones.

Si multiplicamos 2 ó 3 binomios obtendremos una ecuación de primer ó segundo grado al multiplicar n binomios obtendremos una ecuación de n grados.

(x+a)(x+b)

 Ejemplo:
Expresar la multiplicación del binomio

(x+2) (x-3)

x² + x (2-3) + (-6)

x² - x -6

 

Si se conoce las expresiones cubicas para de terminar los factores que originan una función debemos obtener las raíces de la ecuación.

 

Ejemplo: 
*Puedes utilizar el método de factorización o formula general

　

　

 

 



Tema 5

División de Polinomios
La división es una operación que tiene por objeto , dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
Algunas ecuaciones de grado superior a 2 se pueden factorizar en 2 o más términos que nos permiten reducir expresiones de forma más sencilla de expresarla.
Para realizar la división iremos operando de izquierda a derecha, como si de un cociente normal se tratase, multiplicando el cociente por todos los coeficientes.
Ejemplo:
        a) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

        b) Se multiplica el resultado por todos los términos del divisor y se resta el dividendo (cambiar  los signos).

        c) Se repiten los pasos (a) y (b) hasta que ya no se pueda dividir y el residuo sea 0 ó otro resultado final.